Ньютон
Математика увлекательна и занимательна совсем не потому, что некоторые ее разделы могут быть изложены как анекдоты и головоломки, доступные пониманию широкого круга читателей. Она интересна главным образом потому, что в сжатой, но емкой форме выражает способности и особенности нашего мышления и психологии познания окружающего мира. Математики сначала ставят себе простые, с обывательской точки зрения, задачи, а затем показывают, что не все так просто, как кажется. Простые, на первый взгляд, задачи могут вообще не иметь решения, а решение, которое все-таки предлагается, оказывается решением совсем другой задачи. Математика, в отличие от других наук, не устаревает ни в одном из своих многочисленных разделов. Истины, достигнутые много веков назад, остаются истинами и сегодня, не зависимо от достижений техники, естественных и философских наук. Нематематикам математика представляется эталоном стремления к истине, определенности и доказательности логических построений. Вместе с тем, математика поучительна для нас еще и тем, как она применяет аналогии и обобщение. Мы и в повседневной жизни нередко прибегаем к методу рассуждений по аналогии, но в математике он наиболее ясно выражен. Однако в математике аналогия — не аргумент, не прецедент, на который можно сослаться как на основание для последующих умозаключений, а лишь путеводная нить для доказательства истинности или ложности некоторого утверждения. Аналогия для математика это инструмент и технология его кухни, в которую он не любит пускать посторонних. Решая какую-то задачу, в том числе поставленную насущной практикой, математик заинтересован не столько в получении правильного ответа на нее, сколько в разработке метода решения более общей задачи. Иначе говоря, он стремится к возможно большей абстракции от кучи мелких и чересчур конкретных деталей чисто практической задачи, чтобы увидеть ее настоящую сущность и выработать возможно более универсальный метод решения, который, возможно, пригодится и в многочисленных случаях аналогичных частных задач.
Занимательнее всего в математике, пожалуй, не столько интригующие и увлекательные формулировки задач и неожиданные ответы на них, сколько порой драматический поиск решений, собственно мыслительный процесс. Правильный ответ, конечно, важен, но это не главная цель данной книги.
Эта книга — о математике не для математиков, и написана она не математиком. Она адресована всем, кто любит поразмышлять или порешать задачки и, в первую очередь, тем, кто считает свою направленность гуманитарной , кому чужды точные науки, — психологам, социологам, юристам, журналистам, врачам, биологам и т. п., а также школьникам старших классов, которые еще не выбрали свою будущую стезю. Для чтения этой книги не предполагается сколько-нибудь серьезная математическая подготовка, — знаний в пределах средней школы, даже изрядно подзабытых, вполне достаточно.
Добавлю еще, что эта книга, надеюсь, окажется небесполезной будущим и уже состоявшимся инженерам, а также программистам, как изучавшим прикладную математику в вузах, так и самодеятельным. Программисты, знающие только языки общения с компьютерами, но не понимающие математическую сущность алгоритмов создаваемых ими программ, являются не более чем просто кодировщиками или весьма ограниченными переводчиками, которые переводят слова (если не буквы), но не мысли.
Данная книга посвящена лишь некоторым разделам необъятной математики — множествам и отношениям. Что может быть проще понятия множества? Под множеством мы понимаем практически все, что угодно. Это — многообразие, совокупность различающихся чем-то вещей, но рассматриваемая как некая целостность. Одно дело бесконечно разнообразный в своих деталях мир, другое — его часть или весь этот мир в моем мешке, в моем поле зрения, рассматриваемый как нечто целое или относящееся к чему-то одному, подпадающий под некоторую общую идею. Простая в своей сущности идея множества сначала была положена в основу очень специфических задач математики, а затем вдруг оказалось, что ее можно попытаться развить в качестве фундамента математики в целом. Этому способствовал общий кризис математики, долго зреющий, но явно обнаружившийся только в конце XIX века. Тогда лучшие умы мира самоотверженно бросились спасать самую лучшую, с точки зрения определенности, обоснованности и истинности, науку. Они не могли допустить краха веры в непогрешимость математики. Ведь она и создавалась веками как особая наука об истине, как демонстрация могущества человеческого разума. Только во вторую очередь ее рассматривали как собрание методов решения насущных инженерных и перспективных прикладных задач. Драма математики конца XIX — первой половины XX веков увлекательна и поучительна сама по себе. Однако это не драма одной лишь математики, это — кризис чрезмерной самоуверенности человеческого разума и порожденной им науки, это — многими ожидаемая расплата за гордыню. Однако в данной книге мы лишь коснемся данной проблемы, не останавливаясь на нюансах. Эта драма должна нас научить быть более внимательным, а также примириться с мыслью о том, что истина не абсолютна — она относительна. Она где-то рядом, но не лежит на поверхности, доступная и тривиально-очевидная. Ее, истины, в большинстве случаев надо дознаться, потратив на это свои интеллектуальные и эмоциональные ресурсы, т. е. испытав сначала недоумение, раздражение и лишь потом — надежду и восторг. Последнее и будет настоящей наградой за все перипетии пройденного пути к тому, что называют истиной, пониманием, осознанием или, короче, жизнью интеллекта и чувств.
Немного уяснив понятие множества, мы должны ощутить готовность двигаться дальше. А именно: мы должны разобраться в том, что такое отношения между объектами различной природы. При этом нам не важно, находятся ли конкретные индивидуумы в интересующем нас отношении, например, любят ли они друг друга, больше ли один другого, или главнее. Для нас важно понять, чем одни отношения отличаются от других вне зависимости от того, как конкретно они определены, между какими объектами и по каким правилам или признакам. Как бы ни было задано конкретное отношение между объектами из одного, двух или более множеств, мы, при более пристальном рассмотрении, можем установить, что это, например, отношение сходства, или эквивалентности, или порядка. А установив тип отношения, будучи вооруженными знаниями о нем, мы сможем чисто логически вывести другие важные следствия о данных конкретных отношениях и увеличить свою мощь в понимании мира, где как-будто все взаимосвязано, все со всем находится в отношениях или вступает в определенные отношения.
Исключительно практическая область деятельности, такая как синтез и применение реляционных баз данных, покоится на теории отношений. Можно с уверенностью утверждать, что успех реляционных баз данных объясняется счастливым симбиозом насущных практических потребностей с адекватной теорией, возникшим совсем недавно — в середине XX века. Теперь мы можем изучать реляционные базы данных как инженерно-программистские конструкции, обросшие к настоящему времени множеством деталей и нюансов. А можем взглянуть на это сложное технологическое хозяйство с позиций теории, чтобы абстрагироваться от затемняющих суть дела деталей и преходящих технических усовершенствований. В данной книге мы рассмотрим некоторые из основных проблем реляционных баз данных именно с позиций теории отношений.
В теории множеств любую (или почти любую) совокупность объектов можно рассматривать как некий новый объект, называемый множеством. Этот тезис развязывает нам руки в творении множеств. Однако жизнь показывает, что творчество в данном направлении не вполне произвольно. В зависимости от интересов исследования и практических нужд мы создаем одни множества, а другие — нет. Наиболее ярко синтез множеств проявляется в так называемой классификационной деятельности, когда явно требуется разделить объекты некоторой предметной области на классы (т. е. множества). Почему дети относят китов и дельфинов к рыбам, а мы, взрослые, — нет? Почему даже самые маленькие дети отличают жуков и бабочек от птиц, хотя и те, и другие летают? Почему дети научаются считать быстрее, чем сравнивать количества? Не потому ли, что для счета требуется лишь научиться переходить от одного элемента к другому, называя их разными именами, а для сравнения совокупностей нужна предварительная абстракция от всего, что в них есть индивидуального? И то, и другое — различные проявления единого понятия числа. Это все не просто психология, это — математика. Но математика и есть концентрированная психология, только обращенная не к чувственной жизни тела, а к парению духа.
Книга состоит из двух частей. Материал первой части (главы 1, 2 и 3) изложен в форме диалогов, которая позволила мне задавать любые, в том числе и глупые вопросы. Глупые вопросы обычно стесняются задавать, но именно в них содержится нечто ("сермяжная правда"), благодаря чему учитель может распознать суть проблемы: то ли дело в недостаточном педагогическом искусстве изложении, то ли в дефектах собственно постановки и методах решения задачи. Для всех предлагаемых задач приведены развернутые решения, но я советую не искать в тексте правильные ответы сразу же, а прежде попробовать "вычислить" их самостоятельно. В первой части книги мы начинаем с задач, похожих на головоломки, а затем приобщаемся к алгебре логики и элементам теории множеств. При этом мы постоянно встречаемся с парадоксальными ситуациями, пытаясь их разрешить. Это и есть, на мой взгляд, математическое творчество, разговору о котором посвящена книга. Замышляя персонажи диалога как символы со вполне реальными прототипами, позже я понял, что они — мои собственные ипостаси. Так что это я сам рассказываю своим alter ego то, что им по силам со мной обсуждать. Один из них смел и креативен, другой осмотрителен и аккуратен.
Во второй части (главы 4—7) рассказывается о теории отношений и ее применении к таким практическим вещам, как реляционные базы данных и классификационная деятельность. Здесь изложение ведется не в форме диалога. Можно сказать, что это лекции. Пусть вас не пугает обилие символики. Она просто позволяет сделать изложение более кратким, а взаимосвязь отдельных положений — более отчетливой. В отличие от первой части, здесь вы найдете меньше увлекательных историй, но больше знаний, хотя для их усвоения потребуется, возможно, больше усилий. Доказательства теорем приведены не столько для вящей убедительности их формулировок, сколько для того, чтобы предоставить возможность поупражняться в обращении с рассматриваемыми объектами. Хотя, должен подчеркнуть, именно изучение доказательств теорем и есть настоящее изучение математики. Результат не так важен, как способ его получения. Впрочем, при первом чтении доказательства можно и пропустить без особого ущерба для понимания последующего материала. Попутно я хотел бы обратить внимание на то, что чем более интуитивно понятен тезис, тем более громоздким выглядит его доказательство. Интуитивно понятные вещи укоренились глубоко в нашем подсознании, а доказательство — попытка вывести их на уровень сознания, где правят логика и речь. Вытащить то, что и так понятно, на уровень сознания — нелегкая задача. По мере изложения материала в этой части темп и видимая сложность нарастают, но если вы неспешно начинали с первых глав, то данное обстоятельство вряд ли будет вам серьезной помехой. Дорогу осилит идущий.