Математическая модель классификации

Вадим Дунаев

Настоящая статья представляет мою попытку математического моделирования классификационной деятельности. Это — глава 7 из моей книги "Занимательная математика. Множества и отношения" (СПб.: БХВ-Петербург, 2008. — 336 с.), которая, в свою очередь, основана на моей более ранней статье — "Об одной математической модели классификации" (Научно-техническаая информация. Серия 2. — 1990. — №3).

Глава 7. Классификация

 

Ученый должен систематизировать; наука строится из фактов, как дом из кирпичей; но простое собрание фактов столь же мало является наукой, как куча домов — домом.

А.Пуанкаре

 

… Значение какого-нибудь тела, следовательно, также и название его, не зависит уже от его состава, а обусловлено скорее его положением в том ряду, к которому оно принадлежит.

Ф.Энгельс

7.1. Что такое классификация?

Классификация, как бы это странным ни показалось, является неотъемлемой частью нашей повседневной жизни. Без классифицирования было бы невозможным существование людей и животных в безгранично многообразной окружающей среде. Если бы они не были способны собирать сходные раздражители в группы, для которых нужна положительная или отрицательная реакция, то они были бы слишком плохо приспособлены, чтобы выжить. Трудно найти область деятельности, где бы не применялось классифицирование — группировка различимых индивидуальных объектов в классы и соотнесение каждого индивидуума к содержащему его классу. Мы настолько часто и почти везде занимаемся классифицированием, что редко задумываемся о законах, которым оно подчинено. Впрочем, глубоко задумываться об обычном — дело ученых и, в частности, математиков. Рядовые больше задумываются о чем-то особенном, исключительном.

Чтобы классифицировать, надо иметь классификационную схему, т.е. систему классов, к которым любой предмет из данной совокупности мог быть отнесен. Таким образом, классификационная схема позволяет увидеть с некоторой точки зрения устройство предметной области и, далее, описать любой ее элемент, выразив его название через имена тех классов, которым он принадлежит. Например, мы наблюдаем конкретного осла, которого кличут Иа. Этот ослик принадлежит, допустим, классу млекопитающих и подклассу монокопытных (в отличие от парнокопытных, у которых копыта раздвоены). Возможно, с некоторой точки зрения, этой информации нам достаточно для его классифицирования. Но тогда мы вынуждены согласиться, что не только ослики, но и лошади, а также мулы принадлежат тому же классу. Ладно, допустим и это. А вдруг туда же попадут кентавры и другие синтетические чудовища, ноги которых имеют нераздвоенные копыта? Разумеется, мы попытаемся придумать еще какой-нибудь отличительный признак, чтобы в нужный нам класс не попало что-нибудь постороннее. Например, мы можем просто сказать, что данный объект это  не какой-нибудь ослик, а именно Иа. Иначе говоря, мы присваиваем ему индивидуальное имя, чтобы он не смешался с другими индивидуумами в общем с ним классе. Что-ж, и такое бывает. Наряду с обобщением индивидуальностей, образовывая общий класс, мы иногда поступаем и наоборот, выделяя из их  сонма, расплывчатого и маловыразительного сообщества, нечто особенное — индивидуумы или, по крайней мере, виды.

Каким образом происходит соотнесение элементов предметной области к классификационной схеме? Ответ очевиден — по признакам, т.е. параметрам объекта, доступным непосредственному или опосредованному наблюдению. Непосредственно наблюдаемые признаки это те, которые мы воспринимаем нашими органами чувств — зрением, обонянием, осязанием. Однако мы можем усилить наши ощущения, используя измерительные приборы, такие как микроскоп, телескоп, амперметр, манометр и т.п., переходя к косвенным ощущениям. Однако при этом возникает ряд проблем. Например, не все из наблюдаемых признаков обязательно оказываются существенными для того, чтобы подлежащий классифицированию объект мог быть соотнесен с классификационной схемой. И наоборот, может случиться, что реально наблюдаемых признаков будет недостаточно для этой цели. В первом случае возникает задача поиска существенных признаков, а во втором — недостающих. Итак, классифицирование это анализ признаков с тем, чтобы отнести наблюдаемый объект к классу классификационной схемы.

Рассматривая классифицирование, мы предполагаем, что классификационная схема (набор классов) уже задана. Но как ее построить? Если учесть характер классифицирования путем анализа признаков, то естественно предположить, что вид классификационной схемы зависит от того, какие признаки положены в основу …. Но в основу чего, классификационной схемы или классифицирования?  

Допустим сначала, что рассматриваются признаки, положенные в основу классификационной схемы. Тогда они определяют классы объектов: объекты, обладающие общими признаками, принадлежат одному классу, а различные классы отличаются друг от друга различиями в признаках. Рассуждая таким образом, мы как бы описываем уже имеющуюся классификационную схему, причем так, чтобы не возникло особых трудностей при классифицировании. К сожалению, мы при этом ни на шаг не приближаемся к пониманию процесса построения самой классификационной схемы. На практике в большинстве случаев создание хорошей в некотором смысле классификационной схемы является творческим актом, хотя после его совершения почти всегда находятся мотивы и объяснения происхождения его конечного результата. Так бывает и   с художественными произведениями  — кинофильмами, спектаклями и  романами.

Теперь допустим, что рассматриваются признаки, положенные в основу классифицирования. Но и этот случай так же, как и первый, не выводит нас на верный путь. Действительно, алгоритм классифицирования нужен для того, чтобы применять классификационную схему для описания объектов предметной области. Если в качестве отправного пункта взять такой алгоритм, то тогда следует признать, что построение соответствующей ему классификационной схемы необходимо лишь для того, чтобы узнать, что можно делать с его помощью. Но если мы этого не знали раньше, то каким образом мог появиться такой алгоритм классифицирования? Получается порочный круг. Выход из него возможен, если допустить, что классификационная схема определяется не признаками, а отношениями между объектами, которые мы собираемся классифицировать. А роль признаков при этом сводится лишь к тому, чтобы с их помощью можно было осуществить соотнесение объектов к классам классификационной схемы, т.е. выполнить классифицирование.

Как уже отмечалось выше, классификационная схема отражает устройство предметной области. А какого вида устройство она отражает и для чего эта информация может быть использована на практике?

Из опыта известно, что хорошие классификационные схемы получаются при условии, что предметная область достаточно хорошо изучена и, наоборот, при слабой ее изученности классификационные схемы, как правило, оказываются плохими. Отсюда можно заключить, классификационная деятельность бессмысленна на этапе изучения предметной области, поскольку хорошая классификационная схема может получиться только после его окончания. Но, с другой стороны, когда изучение завершено, классификационная деятельность оказывается бесплодной, не дающей ничего нового. Данную точку зрения наиболее отчетливо выразил А. Раппопорт, когда сказал: “Я прекрасно осознаю различие между решением важной задачи и формалистическими бесплодными упражнениями в систематизации … Формалист-систематизатор бесплоден потому, что он вовсе не решает никакой задачи. Он уже знает все ответы, так что его деятельность сводится лишь к тому, что этими ответами он морочит голову людям, перед которыми стоят подлинно сложные задачи”.

Однако мы не будем столь категоричны, чтобы осуждать классификационную деятельность в целом. Попытаемся разобраться в сути дела и выйти из порочного круга предыдущих рассуждений. В мире известны выдающиеся классификационные схемы, как естественные, так и искусственные.

Типичным примером так называемой искусственной классификации является систематизация растений, разработанная шведским натуралистом Карлом Линнеем. Ее искусственность обычно объясняют тем, что выбор несущественных признаков (количество и способ прикрепления тычинок к цветку) привел к тому, что родственные растения (например, злаки) попали в различные классы, а совершенно несходные растения (например, дуб и один вид осоки) — в один и тот же класс.

В данном рассуждении, во-первых, с очевидностью предполагается известным некоторое отношение (например, родства) между классифицируемыми объектами. Однако оно остается в тени, пока не возникает вопрос об оценке естественности данной систематизационной схемы. Во-вторых, схема Линнея явным образом отражает не отношение родства между растениями, а отношение между ними и выбранными тем или иным образом признаками.

Если систематизатор сразу выбрал, как говорят, существенные признаки, и это произошло не случайно, то, видимо, он уже имел заранее классификационную схему, соответствующую тому важному отношению, которое используется в критерии оценки существенности признаков или, другими словами, естественности разрабатываемой систематизационной схемы. Впрочем, эта критериальная или, иначе, априорная классификационная схема могла и не осознаваться систематизатором, группирующим объекты по выбранным признакам.

Линней выбрал признаки, исходя из удобства классифицирования растений. Во-первых, эти признаки хорошо наблюдаемы. Во-вторых, они обеспечивают группировку растений на относительно небольшое количество классов (всего 24 класса). Так что, у него получилось весьма компактное описание огромного растительного мира.

Мысль о компактном представлении знаний в виде классификационных схем довольно долгое время затмевала собой их прогностическое назначение, т.е. способность предсказывать поведение объектов или наступление тех или иных событий. Рассмотрим в качестве примера знаменитую классификацию химических элементов Д.И.Менделеева, которую он представил в виде таблицы, открыв так называемый периодический закон. В чем заключается ее значение? На момент своего создания таблица была заполнена не полностью, но в пустые клетки могли попасть элементы не с произвольными свойствами. Свойства еще неоткрытого элемента зависели от свойств элементов, уже занявших свое место в соседних клетках.  Таким образом, классификационная схема Менделеева  позволила предсказать существование новых химических элементов. В настоящее время  эта таблица практически полностью заполнена, но утратила ли она свое прогностическое значение? Нет, поскольку эта таблица позволяет предсказывать взаимодействие между элементами. Например, из нее следует, что щелочные элементы взаимодействуют с галогенами, а инертные газы не вступают в реакцию с редкоземельными металлами и т.д.

Но каким образом Д.Менделеев мог построить свою классификационную схему?  Это он мог сделать на основе наблюдения различных химических реакций, а также протоколов (описаний ) химических экспериментов. Заслуга его состояла в том, что он удачно выбрал признак (атомный вес), руководствуясь той гипотезой, что информация об отношениях между объектами должна быть как-то запечатлена в самих объектах посредством их признаков (наблюдаемых параметров).

Принятие указанной выше гипотезы в качестве рабочей имеет следующие основания. Допустим, мы хотим предсказывать реакции или отношения, в которые могут вступить объекты из некоторого множества. Предположим далее, что у нас есть протокол всех реакций, наблюденных ранее. Тогда мы можем поступить двумя способами:

1)       просто осуществить реакцию и полученный результат считать прогнозом;

2)       обратиться к протокольным записям и найти в них описание интересующей нас реакции.

В первом случае необходимо произвести затраты на эксперимент, а во втором — на поиск нужных данных в протоколе ранее проведенных экспериментов. Причем в обоих случаях требуется, чтобы время упреждения прогноза было не меньше некоторой заданной величины. Другое дело, если бы результаты будущей реакции были запечатлены некоторым образом в самих объектах. Тогда не нужно было бы проводить дорогостоящие эксперименты и поиски в “бездонных” протоколах. Так возникает вопрос о признаках. Однако основным мотивом его появления было уменьшить трудности классифицирования, в то время как мотивом самого классифицирования была необходимость предсказания результатов взаимодействия объектов. Для того, чтобы классифицирование обеспечивало предсказание, необходимо, чтобы соответствующая ему классификационная схема содержала информацию о поведении объектов.

Рассмотрим еще один пример. Представим себе исследователя первопроходца, впервые попавшего в уссурийскую тайгу и повстречавшего там тигра. Он удивлен, поскольку знает, что тигры обычно встречаются в “жарких странах”. Итак, в отношении “тигры — регионы” появились новые данные. В сущности сформирован новый класс. Вопрос только в том, несут ли тигры на себе сведения о своем месте обитания? Именно поэтому у исследователя возникает потребность пристально рассматривать встречающиеся особи в надежде найти необходимые признаки. Наконец, такие признаки найдены. Если мы теперь придем в зоопарк и спросим, почему этот тигр уссурийский, — нам скажут, например, что он более крупный и шерсть у него гуще и т.п.

Итак, получается, что сначала тигр был “уссурийским”, потому что он был уссурийским. Кроме того, он имел особые признаки именно потому, что жил в уссурийской тайге. После же создания алгоритма классифицирования он стал уссурийским по другим причинам и не перестает им быть даже в зоопарке.

Подобная логика проявляется довольно часто в сознательной деятельности людей. Для краткости такую эволюцию причин и следствий назовем законом инверсии импликации. В реальной деятельности людей инверсия импликации нередко идет еще дальше. Так мы обычно считаем, что если обеспечить объекту некоторые признаки (чтобы он попадал в нужный класс), то он станет входить в нужные отношения. Интересно, что подобные действия нередко приводят к успеху. Закон инверсии импликации не является каким-то дефектом мыслительной деятельности. Напротив, он является мощным средством мышления по аналогии, позволяющим делать прогноз поведения объектов, с которыми классификатор ранее не встречался.

Далее мы попробуем построить аксиоматическую теорию классификации или хотя бы ее набросок, чтобы получить возможность исследовать классификационную деятельность математическими средствами.

7.2. Аксиомы классификации и основные следствия

Классификатор каким-то образом формирует классы, состоящие из объектов некоторой совокупности. В результате у него получается классификационная схема — упорядоченное по отношение включения множество всех классов. В таком понимании классификационную схему обычно называют таксономией (греч. taxis — расположение по порядку; nomos — закон), ее элементы (классы объектов) называют таксонами, а множество всех классифицируемых объектов — таксономическим универсумом.

Нас интересует операция, с помощью которой классификатор творит таксоны. На данном этапе нам не важен алгоритм действий, выполнение которых приводит к осуществлению этой операции. Пока важны только ее свойства, которые мы зафиксируем в виде некоторых аксиом. Хорошо, если бы таких свойств оказалось немного и в то же время они обеспечивали развитее достаточно содержательной теории.

Начнем с обозначений и неформальных рассуждений, которые и положим в основу будущих аксиом. Обозначим через  таксономический универсум, т.е. множество всех объектов, подлежащих классифицировании, а через  — операцию образования таксонов, которую будем называть операцией таксонообразования. Мы считаем, что классификатор формирует таксоны, беря за основу некоторые, вообще говоря произвольные, выборки объектов из таксономического универсума  (т.е. ) и применяя к ним операцию таксонообразования . Результат применения этой операции к множеству является подмножеством таксономического универсума, так что .  Множество  назовем таксоном, а любое его подмножество  — множеством примеров данного таксона. При этом множество , на базе которого построен таксон , естественно назвать базовым множеством примеров.

Проще говоря, классификатор начинает рассматривать некую выборку объектов как множество примеров будущего таксона и затем каким-то образом на ее основе формирует таксон. На практике исходные совокупности объектов выбираются, видимо, не случайно, но мы не будем накладывать на их выбор никаких ограничений. Так что, выборка примеров может быть любым подмножеством таксономического универсума.

Теперь мы дадим определение операции таксонообразования, постулировав для нее всего два свойства.

Определение 7.1. Операцией таксонообразования называется операция , определенная на подмножествах таксономического универсума , обладающая следующими свойствами:

;                                                                     (A1)

если , то .                         (A2)

Множество всех таксонов называется таксономией.

С одной стороны, интуитивно ясно, что множество примеров, на базе которого мы строим некоторое понятие (таксон), является частью объема этого понятия (свойство A1). С другой стороны, множество примеров, на котором построено некоторое понятие, не может быть базовым для более широкого или несравнимого по объему понятия (свойство A2).  Так, если мы знаем, что какое-то множество яблок входит в объем понятия “фрукты”, то было бы неестественно полагать, что на базе этого множества можно образовать более широкое понятие “плоды” или несравнимое понятие “овощи”.

Операцию таксонообразования естественно интерпретировать как операцию обобщения выборочного множества примеров синтезируемого таксона. Так, классификатор выделяет в обозреваемом множестве примеров некоторую общность и добавляет к нему другие объекты, обладающие той же общностью, что и исходные. При этом из части таксона указанным выше образом можно построить только подтаксон (в смысле нестрогого включения ).

Теперь рассмотрим важнейшие следствия из аксиом A1 и A2.

Из свойства A2 и транзитивности отношения включения следует

Теорема 7.1. Если и , то

Из данной теоремы, свойства A1 и транзитивности отношения включения вытекает

Теорема 7.2. — из таксона нельзя построить другой таксон путем многократного применения операции таксонообразования. Иначе говоря, таксон устойчив относительно операции таксонообразования.

Из свойств A1 и A2 и транзитивности включения вытекает

Теорема 7.3. Если , то — операция таксонообразования сохраняет порядок включения (изотонна).

Не трудно доказать и справедливость следующего утверждения.

Теорема 7.4. — пересечение таксонов является таксоном.

Некоторые свойства операции таксонообразования показаны на рис. 7.1

Рис. 7.1. Как работает операция таксонообразования

В 1974 г., примерно за 10 лет до предложенного мной рассмотренного выше определения таксономии, Ю.А.Шрейдер предложил такое ее аксиоматическое определение:

1) множество всех таксонов конечно;

2) таксономический универсум является таксоном;

3) пересечение таксонов есть таксон.

Как соотносится наше определение 7.1 с данным. Не трудно заметить, что для выполнения первой аксиомы нам достаточно предположить конечность таксономического универсума или же из определения Шрейдера удалить первое требование. Вторая аксиома непосредственно следует из свойства A1 (и того, что . Третья аксиома выводится из A1 и A2 как теорема 7.4.

Оказывается, некоторые системы свойств операции таксоноообразования равносильны друг другу и, следовательно, мы могли бы положить в основу нашей теории любую из этих систем.

Обозначим свойства операции , сформулированные в теоремах 7.1, 7.2 и 7.3, через Т1, Т2 и Т3 соответственно.

Теорема 7.5. Системы свойств <A1,A2>, <A1, Т1, Т3>  и <A1, Т2, Т3>  равносильны.

Доказательство.

Не трудно заметить, что достаточно показать, что из второй и третьей систем следует свойство А2.

Из второй системы (свойств A1, T1) вытекает Т2. С учетом Т2 путем подстановки в Т2 равенства   получаем свойство А2. Но Т2 уже содержится  в третьей системе свойств, следовательно, и из нее выводится А2.

В математике операция, определяемая третьей системой свойств <A1, Т2, Т3> известна как операция замыкания множеств. Отсюда с учетом теоремы 7.5 можно заключить, что операция таксонообразования, определяемая свойствами А1 и А2, является операцией замыкания на подмножествах таксономического универсума. При этом таксонами являются множества равные своим замыканиям, т.е. такие , что .

Операция замыкания широко используется во многих разделах алгебры и общей топологии. Так что, перед нами открывается возможность изучения классификации уже готовыми математическими средствами. В частности уже сейчас мы можем ответить на вопрос, что же представляет собой таксономия как множество всех таксонов в структурном отношении. Прежде всего, это частично упорядоченное по отношению включения  множество, в котором есть наибольший и наименьший элементы. Наибольшим элементом является таксономический универсум, а наименьшим — пересечение всех таксонов. Такие структуры называются полными решетками, в которых операция выделения наибольшей нижней грани является теоретико-множественным пересечением.

Ниже приведен список всех основных свойств операции таксонообразования (постулируемых и выводимых), которые мы рассмотрели в данном разделе. При этом для краткости вместо союза “если …, то …” мы использовали стрелку =>.

7.3. Реляционный подход к классификации

Как конкретно может быть устроена операция таксонообразования, обладающая рассмотренными выше свойствами? В частности, каким образом расширяется базовое множество примеров (свойство экстенсивности А1)? Естественно думать, что осуществляя таксонообразование, мы рассматриваем объекты базового множества примеров в некоторых отношениях между ними и/или с объектами других множеств. Если допустить данную гипотезу, то исходной информацией для синтеза классификационной схемы (таксономии) являются отношения между объектами, и операция таксонообразования должна быть как-то выражена через них.

В главе 5, рассматривая бинарные отношения, мы использовали понятия классов и ко-классов, порожденных операциями  и . Эти операции определялись довольно просто как сечения 2-го рода (определение 5.9) отношения через подмножества  и  Там же мы выяснили, что операции  и  обладают всеми свойствами операции замыкания:

Аналогичные свойства имеет двойственная операция .

По теореме 7.5 любая операция замыкания равносильна операции таксонообразования, заданной определением 7.1. Таким образом, классы и ко-классы произвольного бинарного отношения, порожденные операциями и , являются таксонами и ко-таксонами. Иначе говоря, операции и  представляют собой интерпретации аксиоматически определенной операции таксонообразования ,  а примеры таксономий это структуры множеств классов и ко-классов, которые приведены в главе 5. Особенностью классификационной схемы, построенной на основе отношения, является то, что она представляется в виде двух взаимно однозначно связанных антиизоморфных структур — таксономии и ко-таксономии. Однако, если рассматривается отношение на одном и том же множестве объектов, то таксономию и ко-таксономию можно совместить, объединяя множества таксонов и ко-таксонов, а также добавляя всевозможные их попарные пересечения.

Примечание

Тот факт, что операция удовлетворяет аксиомам определения 7.1, означает, что данная система аксиом непротиворечива.

7.4. Классифицирование

Как мы уже говорили ранее, классифицирование это — соотнесение объектов с классами классификационной схемы (с таксонами таксономии). В общем случае объект может принадлежать одновременно нескольким таксонам. По крайней мере он принадлежит наибольшему из них — таксономическому универсуму. К какому из нескольких таксонов следует отнести данный объект?

Естественно считать, что коль скоро классификатор может построить всю таксономию, он тем более успешно может решить более скромную задачу классифицирования, причем теми же средствами, которые использовались при синтезе таксономии. Поэтому в основу правила классифицирования разумно положить принцип, согласно которому всякий объект  из таксономического универсума следует отнести к таксону , т.е. к таксону, который может быть построен на базе одноэлементного множества  с помощью операции таксонообразования . Разумеется, эта же операция использовалась при построении всей таксономии, а теперь она применяется для классифицирования. Не трудно доказать, что  является наименьшим таксоном, содержащим объект .

Множество всех таксонов вида  образует покрытие, но, в общем случае, не разбиение таксономического универсума. Иначе говоря, различные таксоны вида  могут пересекаться друг с другом. Однако это пересечение не произвольно. Пусть имеются два таксона и , тогда возможны только следующие два взаимно исключающих случая:

Обозначим через  множество всех таксонов данной таксономии и рассмотрим естественное соответствие , которое сопоставляет любому объекту  множество всех тех таксонов из , в которые входит объект  данный объект. Тогда мы можем ввести определение таксономического вида объектов — понятия, которое широко используется в классификационной деятельности.

Определение 7.2. Два объекта принадлежат одному и тому же таксономическому виду, если .

Другими словами, два объекта принадлежат одному и тому же виду, если они принадлежат одним и тем же таксонам. Отношение “принадлежать одному виду”, очевидно, рефлексивно, симметрично и транзитивно. Следовательно, оно является эквивалентностью, а виды есть классы этой эквивалентности. Особенностью видов в рамках рассматриваемой теории классификации является то, что вид не обязательно является таксоном. Если таксономия построена по бинарному отношению, то виды это классы ядра (ко-ядра) данного бинарного отношения.

На рис. 7.2 в качестве примера показано бинарное отношение “поедания” на множестве рыб {щука, окунь, карась, плотва}, которое показывает, кто кого поедает. Хищники щука и окунь, бывает, поедают себе подобных, а карась и плотва — нет. Для данного отношения можно построить таксономию и ко-таксономию, как множества классов и ко-классов. Поскольку бинарное отношение  задано на одном множестве, то таксономию и ко-таксономию можно объединить, добавив попарные пересечения классов и ко-классов. На рис. 7.2 показана объединенная таксономия, в которой таксон {окунь} является пересечением класса {щука, окунь} и ко-класса {окунь, карась, плотва}. Стрелки между таксонами указывают взаимно однозначное соответствие  между классами и ко-классами.

Таксоны {щука} и {окунь} являются одновременно и видами. Карась и плотва образуют еще один вид, не являющийся таксоном; этот вид включатся как подмножество в таксон {окунь, карась, плотва}. Таким образом, алгоритм классифицирования для данной таксономии должен решать задачу отнесения рыб к одному из трех непересекающихся таксономических видов, а в качестве окончательного результата указывать наименьший таксон, содержащий этот вид.

 

 

Рис. 7.2. Отношение “поедания” на множестве рыб и соответствующая ему таксономия

Таксоны в рассматриваемом случае легко интерпретируются как “хищники”, “жертвы”, “крупные хищники” и “средние хищники”. Все рыбы таксономического универсума и пустое множество Ø также образуют таксоны. Прогностическая функция таксономии обеспечивается стрелками между таксонами. Например, пусть мы встретили щуку. Алгоритм классифицирования отнес ее к таксону крупных хищников, стрелка из которого ведет к таксону всех рыб. Следовательно, щука поедает всех рыб. Отсюда мы делаем прогноз о том, что и повстречавшаяся нам щука может съесть любую рыбу из таксономического универсума. С окунем мы поступаем следующим образом. Он классифицируется в таксон, не связанный непосредственно с другими таксонами стрелками. Однако он является подтаксоном двух таксонов —  хищников и жертв, между которыми имеется стрелка. Следовательно, окунь может выступить в роли хищника, а также стать жертвой. Анализ содержимого таксонов показывает, что он может съесть карася, плотву, а также своего сородича и, вместе с тем, может быть проглочен щукой или своим родственником. Кроме того мы видим, что общей жертвы одновременно для всех рыб нет, т.к. соответствующий таксон пуст.

7.5. Именование таксонов

Предположим, что в нашем распоряжении имеется уже готовая таксономия, представленная для наглядности в виде системы вложенных друг в друга ящиков, заполненных объектами. Тогда мы могли бы, используя подходящий алфавит или словарь, составить надписи на этикетках и прикрепить их к соответствующим ящикам. Если бы каждый объект, подлежащий классифицированию, имел бы при себе экземпляр одной из данных этикеток, то классифицирование было бы более чем просто. Вся проблема сводилась бы к тому, чтобы быстро найти нужный ящик. Так например, не представляет особого труда классифицирование книг в системе универсальной десятичной классификации (УДК) или в международной системе, использующей индексы ISBN, если на самих книгах уже напечатан их индекс. Но как быть с книгами, которым еще не присвоен индекс? Поставим данный вопрос шире: если объект не “переносит” с собой наименований таксонов, которым он принадлежит, то что тогда он “переносит” и каким образом это переносимое связано с именами таксонов?

Итак, таксономия представляет собой конструкцию, элементы которой (таксоны) могут быть поименованы. Имена представляются нам как синтетические конструкции, составленные из атомарных элементов — символов некоторого алфавита или же слов некоторого словаря. Далее, мы предполагаем, что сами объекты устроены в некотором смысле подобно именам, которыми они могут быть обозначены. На первый взгляд, это чересчур сильное допущение. Однако оно основано на естественной мысли о том, что понятие об объекте должно как-то воплощаться в нем, а сами объекты должны быть устроены так, чтобы, наблюдая их, можно было вывести (абстрагировать) соответствующее им понятие.

Исходя из указанного выше предположения, примем в качестве рабочей гипотезы, что объекты можно представить себе в виде наборов признаков, через которые они являются в наших ощущениях. Коль скоро имена таксонов и входящих в них объектов состоят из частей, то при определении соответствия между частями имен и признаками в принципе возможно выделение групп признаков, которые можно было бы назвать частями объектов. Например, пусть перед нами две книги. Одна из них уже имеет индекс УДК, а второй его только еще предстоит присвоить. Разумно присвоить второй книге индекс первой, если в их содержании найдутся похожие тексты, ключевые слова и т.п. Так часто и поступают на практике. Положение не изменится, если мы будем знать ключевые слова, соответствующие разрядам индексов УДК, и не заимствовать индексы у других книг, а конструировать их по ключевым словам, найденным в данной книге.

Во многих случаях классификационная схема формируется сначала как структура имен классов, а не самих классов (заданных объемом или/и свойствами). При этом элементы имен интерпретируются как признаки, которые можно либо непосредственно наблюдать в объектах, либо получать путем обобщения непосредственно наблюдаемых признаков. В таких случаях обычно стремятся построить минимальное множество так называемых существенных признаков, чему, однако, мешает опасение, что одним и тем же именем будут названы существенно различные объекты. По данному поводу уместно вспомнить легенду о классификационной деятельности Платона, когда он пытался дать краткое, но емкое определение человека (см. разд. 2.3.1).

Выбор удачных (существенных) признаков имеет большое значение при создании структуры имен классов (таксонов). При этом необходимость обеспечения процесса классифицирования реальных объектов требует вычленять в них те части, которые соответствуют элементам имен таксонов.

В 1970-х годах наш соотечественник С.В. Мейен ввел в теорию классификацию термин “мерономия” (греч. meros — часть; nomos — закон) для обозначения классификационной деятельности, связанной с вычленением частей, образующих структуру (архетип) объекта. В дальнейшем концепция мерономии была развита в работах С.В. Мейена и Ю.А. Шрейдера. Возможно, что для обозначения структуры имен таксонов был бы более удачным термин “номономия” (лат. nomen — имя и греч. nomos — закон). Однако, поскольку структура имен таксонов тесно связана со структурой признаков объектов (их реально наблюдаемых частей), назовем ее мерономией.

Мерономию (структуру имен таксонов) для заданной таксономии можно построить по следующим правилам. Пусть  — словарь, тогда

1)       каждому таксону, не являющемся пересечением других таксонов, сопоставляется слово из  так, чтобы всем таксонам были сопоставлены различные слова;

2)       каждому таксону сопоставляется множество слов из , которые на первом этапе были сопоставлены таксонам, включающим в себя данный таксон.

На рис. 7.3 показаны одновременно таксономия и соответствующая ей мерономия, построенная по указанным выше правилам. Имена таксонов представлены в виде множеств слов из словаря .

Рис. 7.3. Мерономия — структура имен таксонов

В данном примере вместо символов  можно было бы использовать, например, такие слова: “рыбы”, “хищники”, “жертвы” и “крупные”, тогда мерономия приняла бы менее абстрактный вид, показанный на рис. 7.4.

Рис. 7.4. Мерономия с составляющими имен таксонов, взятыми из русского словаря

Мерономия отражает языковой аспект классификации. Если воспользоваться этой аналогией, то имя таксона, из которого выходит стрелка, можно интерпретировать как группу подлежащего (существительных и прилагательных), а имя таксона, в который входит стрелка, — как группу сказуемого. При этом само соответствие между таксонами (стрелка) интерпретируется как собственно сказуемое (глагол). Так, в мерономии на рис. 7.4 можно найти такие предложения, как, например, “хищные рыбы поедают рыб-жертв” () или “рыбы, являющиеся хищными жертвами, поедают рыб-жертв и поедаются хищными рыбами” (это, очевидно относится к таксонам ).

Мерономия устроена таким образом, что имя каждого таксона может быть определено по классическому правилу: через ближайший род и видовое отличие, т.е. имя данного таксона определяется через имя надтаксона и дополнительные символы, выделяющие его из множества всех подтаксонов. Так например, таксон определяется через ближайший род “рыбы хищники” и видовое отличие “крупные”.

В ряде случаев, например, при классификации животных, стремясь сблизить между собой классификационную схему и классифицирование, стараются составлять имена таксонов из имен признаков, которые можно реально наблюдать в самих объектах. Отсюда появляются такие названия таксонов, как “хордовые”, “парнокопытные” или “хлористый натрий” (вместо обиходного “поваренная соль”).

Представим себе работника, который по роду своей службы имеет дело с объектами, входящими в ограниченное число таксонов некоторой достаточно большой таксономии. Хорошо знакомый со своей предметной областьюЮ он обыкновенно не будет использовать имена старших (по включению) таксонов и, как часто бывает на практике, может даже заменить эти длинные мерономические имена более короткими именами нарицательными. Правда, при этом ему, возможно, придется расширить используемый словарь. Так например, таксон “хордовые черепные млекопитающие парнокопытные”  обычно называют просто “коровы”.

Теперь предположим, что кругозор нашего работника стал расширяться при постоянном уровне возможностей хранить информацию. Очевидно, что прежний способ кодирования (именования) таксонов с некоторого момента времени станет непригодным. Тогда он просто будет вынужденным группировать прежние имена таксонов, а сгруппировав их, заменить новыми. Пусть эти имена будут длинными, зато используемый словарь можно сократить. Однако, обобщая таким образом исходную информацию, необходимо побеспокоиться о том, чтобы сохранить на достаточном уровне связь между именами новых таксонов и объектов, которые этими именами обозначаются. При этом желательно также, а во многих случаях и необходимо, чтобы образуемые таксоны были обязаны своим существованием не только стремлению классификатора сэкономить свои ресурсы на представление знаний, но и объективным отношениям между объектами.

Рассмотрим мерономию в структурном отношении. Не трудно заметить, частично упорядоченное по включению множество всех имен таксонов (т.е. мерономия) антиизоморфно таксономии:

1)       отображение (обозначим его через ) множества всех таксонов в множество их имен, построенное по рассмотренному выше правилу, взаимно однозначно;

2)       для всех таксонов  включение  выполняется тогда и только тогда, когда .

Как уже неоднократно отмечалось, таксономия есть полная решетка, в которой операция умножения таксонов является их теоретико-множественным пересечением. Однако операция сложения двух таксонов в общем случае не может быть столь же просто выражена через теоретико-множественные операции. Эта операция сопоставляет двум таксонам наименьший таксон, содержащий их объединение. В частном случае, когда таксономия построена на основе бинарного отношения операция сложения (обозначим ее через +) таксонов может быть выражена так:

С учетом антиизоморфизма таксономии и мерономии операцию сложения таксонов можно выразить через пересечение их имен и, наоборот, сложение имен можно выразить через пересечение соответствующих таксонов:

,

.

Здесь символом <=> обозначен союз “тогда и тоько тогда”.

Таким образом, когда мы складываем два таксона, мы пересекаем их имена и, наоборот; когда мы пересекаем два таксона мы складываем их имена, и наоборот.

Рассмотренные выше таксономия и мерономия являются примером того частного случая, когда операция сложения совпадает с теоретико-множественным объединением.

7.6. Увеличим нашу немощь, чтобы расширить границы господства

Существуют операции, которые довольно естественно интерпретируются как классификационные, но не являются операциями замыкания, и существуют семейства множеств, которые естественно интерпретируются как классификационные схемы, хотя и не являются таксономиями в смысле определения 7.1 (разд. 7.2). Попробуем ослабить требования к операции таксонообразования, чтобы и другие интересные операции порождения классов удовлетворяли ее новому определению. Таким образом, мы хотим сделать некое обобщение операции таксонообразования, сохранив существенные ее свойства.

7.6.1. Определение слабой операции таксонообразования

Как и раньше, мы исходим из того, что классификатор создает таксоны на базе пробных подмножеств таксономического универсума , используя операцию . В общем случае не любое подмножество  является таксоном. Будем считать, что таксонами являются только подмножества, устойчивые относительно операции , т.е. такие , что . Другими словами, таксоны суть неподвижные точки отображения , где — множество всех подмножеств таксономического универсума . Устойчивость таксонов относительно операции таксонообразования является одним из фундаментальных свойств любой естественной таксономии. В общем случае не для всякого отображения существуют неподвижные точки. Так что нам придется принять допущения, гарантирующие их существование.

Для классификационной деятельности довольно типичен итерационный процесс синтеза отдельных таксонов и таксономии в целом, который, однако, должен завершиться за конечное время. Поэтому допустим, что операция  позволяет для любого исходного множества  построить таксон методом последовательного приближения за конечное число шагов. Кроме того, потребуем, чтобы из произвольного подмножества таксона можно было построить подтаксон данного таксона в смысле теоретико-множественного включения.

Введем следующие обозначения:

,

при .

Очевидно, что для любых .

Определение 7.3. Пусть дана операция , определенная для любого , , и  — наименьшее целое число, для которого при любых  выполняются следующие соотношения:

;                                                      (B1)

.                         (B2)

Тогда операцию  будем называть n-слабой (1/n-сильной) операцией таксонообразования, а множества — таксонами.

 

Очевидно, что если — n-слабая операция таксонообразования, то для любого  и . При этом множества вида и только они являются таксонами.

По свойству B2 для любых  имеет место включение:

.

Это аналог теоремы 7.4 для обычной операции таксонообразования.

7.6.2. Примеры

Теперь рассмотрим несколько операций преобразования множеств на предмет соответствия их определению n-слабой операции таксонообразования.

Тождественное преобразование

Тождественное преобразование сопоставляет любому множеству это же самое множество, т.е. ничего с ним не делает. Очевидно, оно является простейшим примером 0-слабой операцией таксонообразования. Если классификатор может рассматривать каждое подмножество таксономического универсума в качестве таксона, то он обладает самой сильной (∞-сильной) операцией таксонообразования.

Операция замыкания

Операция замыкания по теореме 7.5 равносильна операции таксонообразования, отвечающей определению 7.1. Поскольку она нам понадобится при рассмотрении последующих примеров, обозначим ее через и еще раз приведем ее определение:

;

.

Данная операция является 1-слабой операцией таксонообразования.

Операция открывания

Операция открывания или взятия внутренности множества определяется следующими свойствами:

;                                                    (О1)

.                               (О2)

Множества такие, что  называются открытыми, при этом множество называется внутренностью множества .

 

Операция открывания противоположна (двойственна) операции замыкания. С точки зрения классификации и в отличие от операции замыкания ее можно интерпретировать как уточнение. Так, рассматривая какое-нибудь множество объектов, классификатор обнаруживает некоторые свойства, общие для объектов “ядра” (внутренности) данного множества. При этом он удаляет из исходного множества остальные объекты, как исключения или аномальные отклонения от обнаруженной закономерности.

Теорема 7.6. Операция  на множестве  тогда и только тогда является операцией открывания, когда для любых  выполняются следующие соотношения:

;

;                                      (О3)

.                       (О4)

Доказательство аналогично доказательству теоремы 7.5.

Теорема 7.7. Операция открывания является 1-слабой операцией таксонообразования.

Доказательство

Свойство О3 есть частный случай свойства В1 определения 7.3 при : . По свойству О4 имеем

,

откуда с учетом свойства О3 получаем частный случай свойства В2:

.

Известно, что если — операция замыкания на множестве , то операция , где черта означает дополнение до , является операцией открывания. Так, рассматривая некоторое выборочное множество примеров синтезируемого таксона, классификатор переходит к анализу противоположного (контрарного) множества примеров , на базе которого с помощью некоторой операции замыкания  строит контрарный предтаксон . Это еще не окончательный результат, поэтому мы и говорим о предтаксоне, а не о таксоне. Затем классификатор удаляет из исходного множества  все элементы, которые принадлежат контрарному предтаксону , получая в результате таксон  , являющийся внутренностью множества . Рассмотренный способ построения таксонов моделирует метод рассуждений от противного.

Операция определения границы

Пусть — операция замыкания на множестве , тогда операцию такую, что для любого  выполняется будем называть операцией определения границы, а множество — границей множества .

Легко видеть, что

;

.

Если обозначить через , то

;

;

.

Можно также показать, что операция является 2-слабой операцией таксонообразования:

;

.

 

Если множество  открыто, то оно не имеет общих границ ни с , ни с . Таким образом, при классифицировании объектов из в данном случае не обязательно имеет место включение . Иначе говоря, результатом классифицирования объекта может быть таксон, который его не содержит. Например, в основе классифицирования удаленных от наблюдателя морских судов по их силуэтам лежит операция выявления границы (контура) между множеством точек судна и фоном.

Комбинация операций замыкания и открывания

Можно представить себе классификационную деятельность как итерационный процесс перемежающихся уточнений и обобщений. Пусть на одном и том же таксономическом универсуме в качестве обобщения используется некоторая операция замыкания , а в качестве уточнения — двойственная ей операция открывания . Обозначим через и такие операции на таксономическом универсуме , что для любого  имеют место соотношения:

;

.

Примечание

Если использовать топологическую терминологию, то — открытая область, а — замкнутая область.

Непосредственно из определений операций и вытекает

Теорема 7.8. Операции и являются 1-слабыми операциями таксонообразования.

7.6.3. Особенности классифицирования

Как и в случае обычной операции таксонообразования, в основу правила классифицирования естественно положить принцип, согласно которому всякий объект  относится к таксону , т.е. к таксону, который может быть построен на базе одноэлементного множества с помощью n-слабой операции таксонообразования .

Рассмотрим таксономию , построенную с помощью некоторой n-слабой операции таксонообразования  на таксономическом универсуме . Пусть — пересечение всех таксонов , содержащих объект . Тогда для любого  по свойству B2 (разд. 7.6.1) имеет место включение . При этом, однако, в общем случае оказываются неверными такие традиционные в теории классификации высказывания, что

1)       для всякого  найдется таксон  такой, что ;

2)       для всякого имеет место отношение принадлежности.

Традиционно считается, что функция классифицирования (отнесения к таксонам)  объектов  к таксонам  должна обладать следующими свойствами:

1) определено для каждого ;

2) однозначна;

3) .

При этом не всегда удается обеспечить выполнение последних двух свойств одновременно. В таких случаях обычно жертвуют вторым свойством, сохраняя третье: результатом отнесения объекта к таксономии должны быть таксоны, содержащие данный объект в смысле теоретико-множественного отношения принадлежности . Этот принцип считается сам собой разумеющимся и поэтому обычно его не оговаривают. Однако мы не будем настаивать на его обязательном выполнении, оставляя в силе первые два свойства функции классифицирования. Вместо третьего свойства у нас для любого  имеет место следующее соотношение:

.

Иначе говоря, функция классифицирования  должна быть всюду определенной и однозначной, но при этом объект может относиться и к несодержащему его таксону. Мы уже встречались с такой ситацией. Когда рассматривали в качестве 2-слабой операции таксонообразования операцию определения границы множества. Вместе с тем, отмеченное обстоятельство представляется довольно естественным в условиях нечеткой информации о классифицируемых объектах. Рассмотрим это подробнее.

Классифицируемые нечеткие объекты можно представить в виде подмножеств таксономического униерсума, а не в виде его элементов. Очевидно, одноэлементные подмножества можно рассматривать как четкие объекты. Например, пусть таксономический универсум состоит из точек некоторого n-мерного пространства, координаты точек измеряются с погрешностями, а измерительные приборы время от времени могут выходить из строя. Тогда классификатор, имея набор координат, измеренных исправными в данный момент приборами, а принимая во внимание предельно допустимые погрешности, воспринимает не точку, а некоторое множество точек (“облако” или размытую точку). Аналогичная ситуация возникает, когда классификатор вполне уверен, что видит единственный предмет, но, жалуясь на плохие условия наблюдения, может лишь сказать, что наблюдаемый им предмет — один из некоторого списка (множества) возможных объектов. Данный список и представляет собой нечеткий объект, наблюдаемый классификатором. Результат классифицирования такого объекта зависит от свойств конкретной операции таксонообразования.  Это может быть операция уточнения, и тогда результатом классифицирования является подмножество данного множества. Классификатора ожжет интересовать граница нечеткого объекта, и тогда результат классифицирования может может не пересекаться с множеством, представляющим данный нечеткий объект. Если используется операция обобщения, то результат классифицирования должен включать наблюдаемое множество таксономического универсума. Таким образом, рассматривая в качестве объектов классифицирования произвольные подмножества таксономического универсума, мы можем допустить различные соотношения между объектом классифицирования и таксоном, к которому он относится, а не только отношение принадлежности элемента множеству.

7.7. Классификация по нечетким отношениям

В прикладной математике есть раздел, посвященный так называемым нечетким множествам. Идея нечеткого множества возникла в результате попытки определения подмножества  некоторого обычного множества , когда мы не можем с полной уверенностью сказать, принадлежит ли данный элемент из множества  его подмножеству .

Обратите внимание, что постановка такого вопроса противоречит классической идее множества, которая предполагает, что, формируя некоторое множество,  мы вполне определенно знаем относительно каждого элемента, принадлежит ли он этому множеству, или нет. Ведь обычное множество это вполне определенная совокупность элементов, относительно каждого из которых однозначно можно сказать, принадлежит ли он этому множеству, или нет. Сама крамольная мысль о неоднозначности принадлежности элемента множеству  сразу же выводит нас за рамки классической теории множеств. Вместе с тем, в середине XX века была создана некая математическая конструкция для оперирования множествами, которая допускала возможность указать, что тот или иной элемент принадлежит данному множеству с некоторой степенью неопределенности, выражаемой действительным числом в пределах от 0 до 1.  Мотивация была простой: на практике довольно часто даже профессионал в предметной области не может с полной уверенностью констатировать, что данный индивидуум принадлежит данному классу; он может лишь указать некоторое число, выражающее степень его уверенности, что это так. Иногда опрометчиво говорят, что степень уверенности соответствует вероятности. Однако в такой интерпретации не следует заходить слишком далеко. Теория вероятности, хотя и возникла из идей статистической обработки эмпирического материала наблюдений, является математической теорией, не зависящей от субъективных ощущений. Она занимается изучением объективного. В противном случае она вышла бы за рамки научного.

Практика требует привнесения нечеткости, недоопределенности и недопонимания в математику, которая для того и существует, чтобы устранить неопределенность, неоднозначность и нечеткость. Разве это не парадокс? Попробуем разобраться в этом на примере создания классов некоторого вида, а именно таксонов для заданного отношения.

Прежде чем отправиться в путь, напомню, что интерпретацией операции образования таксонов по заданному обычному бинарному отношению является рассмотренная ранее операция (см. разд.7.3). С обычными отношениями вам должно быть все ясно, но как быть с нечеткими отношениями?

7.7.1. Что такое нечеткие множества?

Нечеткое множество это конструкция, определяющая неким специальным образом подмножество обычного множества , которое мы назовем для удобства универсумом. Универсум  — обычное множество, состоящее из вполне определенных и различимых между собой элементов. Именно этими элементами в их полной совокупности и определяется множество . Добавлю (а точнее — напомню), что определить множество  означает предоставить список всех элементов, принадлежащих этому множеству, или указать правило (функцию), которое для любого элемента однозначно показывает, принадлежит данный элемент данному множеству , или не принадлежит. Итак, универсум для нас и сейчас это — обычное множество. Теперь мы перейдем к определению нечеткиx множеств. Нечеткое множество это — подмножество  универсума , которое представляется как перечень всех элементов множества  с указанием степени принадлежности данного элемента множеству . Пусть, например,  —  обычное множество, состоящее из четырех элементов ; определим подмножество , указав для каждого элемента множества  степень его принадлежности подмножеству : . В данном примере элемент с полной уверенностью принадлежит подмножеству ; элемент — с полной уверенностью не принадлежит подмножеству ; элемент принадлежит множеству с уверенностью 0.1, а элемент — с уверенностью 0.5. Степени уверенности, как предполагается, присваиваются элементам универсума при формировании его подмножеств экспертами — специалистами в конкретной предметной области.

Мы будем считать, что при определении подмножества фиксированного универсума  используется некоторая функция принадлежности , определенная для всех элементов множества  и принимающая значения из интервала . Таким образом, нечеткое множество  можно представить как множество пар вида , где . Нечеткое множество , представленное таким образом, будем обозначать как .

Нечеткое множество  будем называть четким, если для всех  функция принадлежности  равна либо 1, либо 0.

Очевидно, что если — четкое множество, то оно может быть представлено в форме обычного множества, а обычное множество может быть представлено в форме четкого множества (все его элементы имеют значение функции принадлежности, равное 1). Когда четкое множество  может быть представлено как обычное множество  и наоборот, будем говорить, что  и  соответствуют друг другу.

Пусть, например,   — нечеткое множество. В действительности оно является четким, поскольку все значения функции принадлежности для его элементов равны 0, либо 1. Этому множеству соответствует обычное множество  .

Допустим теперь, что дано обычное множество , являющееся подмножеством универсума . Этому обычному подмножеству соответствует нечеткое подмножество . Из анализа значений функции принадлежности мы заключаем в данном случае , что нечеткое множество является четким.

Итак, мы имеем дело с обычными и нечеткими множествами. Последние рассматриваются как некое обобщение обычных множеств. При этом нечеткое множество называется четким, если для любого его элемента функция принадлежности принимает только одно из двух значений — 0 или 1; в данном частном случае мы имеем возможность взаимно однозначно представить четкое множество как обычное.

Далее теория нечетких множеств развивалась в направлении придумывания таких функций принадлежности, чтобы, с одной стороны, они не очень сильно ограничивали экспертов в формировании своих оценок, а с другой стороны, не сжигали мосты, т.е. оставляли  возможность интерпретации в теории обычных множеств. Так, если эксперты сформировали каким-то образом нечеткие множества  и , то они должны безоговорочно согласиться с результатами применения к этим множествам теоретико-множественных операций, таких как дополнение, объединение и пересечение. Эти операции в теории нечетких множеств могут определяться так или иначе, но в зависимости от ранее определеннох функций принадлежности элементов к множествам. Ниже мы приведем наиболее типичные определения отношений и операций между нечеткими множествами.

Для любых нечетких множеств отношение включения выполняется тогда и только тогда, когда для всех  имеет место неравенство .

Для дополнения, пересечения и объединения нечетких множеств функция принадлежности обычно определяется следующим образом:

;

.

Здесь — операции выбора соответственно минимального и максимального из двух значений.

Пусть, например, , , тогда

;

;

;

.

7.7.2. Классы и ко-классы нечетких бинарных отношений

Обычное бинарное отношение  между обычными множествами и определяется как подмножество . Нечеткое отношение между множествами и определяется посредством функции принадлежности , которая для любых возвращает число от 0 до 1, указывающее степень нашей уверенности в том, что элемент  находится в отношении  с элементом  или, иначе говоря, что пара принадлежит подмножеству .

Теперь определим операцию построения классов и ко-классов нечеткого бинарного отношения. Данная задача сводится к заданию надлежащей функции принадлежности элементов к множествам вида  и .

Пусть  — некоторое нечеткое подмножество, а— нечеткое отношение. Тогда для каждого элемента определим функцию принадлежности множеству следующим образом:

,

где функция определяется так:

, если ;

 — в противном случае.

Аналогичным образом определяются и .

Можно показать, что операция  является операцией замыкания, причем для любых четкого множества  и обычного множества , четкого отношения  и обычного отношения , находящихся в соответствии, четкое множество и обычное множество также соответствуют друг другу. Поэтому мы можем считать, что рассмотренное определение операции является естественным расширением операции на случай нечетких множеств и отношений.

Содержание

Hosted by uCoz