Исполнение приговора — сюрприз для осужденного

Раздел из книги Вадима Дунаева "Занимательная математика. Множества и отношения"

Профессор. А вот вам другая логическая задача, впервые обсуждавшаяся в серьезном философском английском журнале  "Mind" в середине 20-го века.

Один ужасный разбойник, на счету которого было немало кровавых злодеяний, был наконец-то пойман и осужден на смертную казнь. Приговор суда был таков: ты будешь повешен в один из семи дней на следующей неделе, причем ты не будешь знать заранее, в какой именно день это произойдет; тебе сообщат об этом в день казни утром, до полудня.

Понятно, что судья хотел в отместку заставить злодея мучиться неопределенностью, ведь говорят, что ожидание смерти хуже, чем сама смерть. Однако адвокат разбойника шепнул ему наедине: приговор не может быть исполнен, ибо противоречив. В самом деле, в последний день недели казнь не может состояться, так как, будучи живым в предпоследний день после полудня, разбойнику не трудно догадаться, что казнь назначена на следующий, единственный день, когда еще может свершиться правосудие. Таким образом, разбойник знал бы о дне казни раньше, чем ему об этом сообщили, а исполнение казни в этот день противоречит приговору. Аналогично, казнь не может состояться и в шестой, предпоследний, день: так как осужденный дожил до пополудни пятого дня, то, стало быть, он уже знает, что казнить его могут только в шестой день (в седьмой день этого не может быть, как мы выяснили ранее). По той же причине казнь не может состояться в пятый и другие дни недели. Разбойник успокоился благодаря логически безукоризненным доводам адвоката. Однако в один из дней недели, в которую по решению суда должна была состояться казнь, рано утром в камеру разбойника явился тюремщик вместе с палачом и заявил, что казнь назначена на сегодня после полудня. “Но это не возможно, поскольку противоречит приговору!”  — удивленно вскричал разбойник. Казнь, тем не менее, была произведена в полном соответствии с приговором. В чем тут загвоздка?

Простак. Скорее всего, адвокат в чем-то ошибся.

Зануда. Нет, адвокат рассуждал вполне логично.

Простак. Если казнь состоится, то это будет противоречить приговору в той его формулировке, в которой он был объявлен судьей. По приговору разбойник не должен заранее  знать, когда его казнят; он должен узнать об этом в день казни утром от тюремщика. Адвокат же убедил разбойника, что тот может узнать о дне казни накануне без объявления ему об этом, а чисто логическим путем. При этом не важно, на какой именно день назначена экзекуция. Таким образом, разбойник получил предварительное знание о дне казни и именно поэтому казнь не может состояться. Перечитайте приговор. В нем требуется, чтобы осужденный не знал  о дне казни иначе, чем посредством объявления.

Зануда. Вроде бы все верно, но предварительное знание, добытое с помощью адвоката логическим путем, есть знание не о конкретном дне казни, а о том, что приговор противоречив. Впрочем, можно считать, что это знание и о дне, хотя оно и выглядит несколько странно: день казни логически не возможен.

Простак. Быть может, следует пересмотреть дело в суде высшей инстанции и сформулировать приговор так, чтобы не возникало парадокса?

Профессор. В данном случае есть аргументы в пользу решения о том, что исполнение приговора суда первой инстанции не противоречит его формулировке. Действительно, логические рассуждения своего адвоката разбойник принял в качестве бесспорного доказательства невозможности своей казни и успокоился. Теперь он знал, что ни в один из семи дней казнь не может произойти. Когда утром, еще до полудня, в камеру зашли тюремщик и палач, узник заранее знал, что казнь не может произойти и в этот день. Когда же ему объявили о повешении сегодня после полудня, он был удивлен (что, кстати, свидетельствует об отсутствии предварительных знаний об услышанном).  Таким образом, все формальности были соблюдены и оставалось только дождаться полудня, чтобы уже через минуту, если хотите, привести приговор в исполнение.

Простак. Все же меня не оставляет смутное ощущение, что адвокат просто усыпил бдительность своего подопечного казуистическими рассуждениями, чем и воспользовались власти.

Профессор. Сейчас я вам покажу, что накануне свершения казни разбойник действительно не знал, что завтра его повесят. Предположим, что казнь была назначена на какой-то из семи дней. Обозначим номер этого дня через x. Что же именно знал или мог знать разбойник накануне, т.е. в день x-1 после полудня? Он мог рассуждать следующим образом. Поскольку по логике адвоката в день x+1 и последующие дни казнь не возможна, то остается день x — единственный последний день, когда еще возможно исполнение правосудия. Этот несложный вывод есть не что иное, как знание разбойника, хотя и не все доступное ему знание. Однако он тут же обнаруживает, что полученное утверждение противоречит приговору. Чтобы снять противоречие, разбойник заключает, что казнь не возможна в день x. Данный вывод составляет еще одну часть полученного разбойником знания. В итоге накануне дня x полное знание разбойника относительно следующего дня можно сформулировать так: казнь возможна и казнь не возможна. Очевидно противоречие. Согласно логике противоречивое высказывание может быть только ложным, а ложное высказывание не выражает никакого знания. Таким образом, получается, что казнить разбойника можно в любой день, поскольку накануне он не будет располагать знанием о дне казни.

Чтобы вам было понятнее, я рассмотрю частный случай, связанный с последним днем недели, когда приговор еще, вроде бы, можно исполнить. Итак, тюремщик приходит утром в камеру осужденного и спрашивает: “когда состоится казнь?”. “Сегодня, но я об этом знал еще вчера, а потому казнь не состоится сегодня”, — отвечает разбойник. “Ты не знал и не знаешь дня казни, поскольку не можешь точно указать день, а потому ты будешь повешен сегодня после полудня”, — сказал тюремщик.

Простак. Ничего не понимаю, оказывается казнить разбойника можно в любой, даже последний день недели, но тогда получается, что в рассуждениях адвоката таится ошибка. В чем же она?

Профессор. Давайте разберемся, на чем основывались рассуждения адвоката и к чему они привели. Адвокат исходил из того, что приговор не противоречив, а результатом его логических рассуждений явилось заключение, что приговор все же противоречив и именно поэтому не может быть выполнен. Однако из противоречия можно вывести что угодно. Противоречие могут использовать обе стороны судебного процесса, адвокат и прокурор, в пользу своей победы. Вопрос лишь в том, кто раньше сдаст свои позиции или, лучше сказать, чью сторону примет судья в затянувшемся споре сторон. Мое же рассуждение о дне казни x также опиралось на предположение, что приговор не противоречив, но в отличие от адвоката я пришел к противоречию не приговора, а знания разбойника о дне казни и поэтому приговор может быть исполнен.

Наличие противоречия всегда связано с неким порочным кругом, по которому наши рассуждения могут бродить сколь угодно долго. Вот вам пример, в котором порочный круг хорошо виден. Итак,  тюремщик приходит в последний день утром в камеру осужденного и спрашивает: “когда состоится казнь?”. “Сегодня, но я об этом знал еще вчера”, — отвечает разбойник. Заметьте, он ничего не говорит о невозможности казни, избегая противоречивости своих знаний. “Я знаю формулировку приговора, и поскольку твоя осведомленность не позволяет его исполнить, то казнь не состоится. Но раз так, то твое знание о дне казни ложно или, иначе говоря, ты не знал о дне казни. Следовательно, казнь произойдет сегодня. Но тогда ты знал об этом и, следовательно, казнь не состоится …”, — так стал бесконечно долго рассуждать тюремщик, ибо не мог разрешить противоречие. Это противоречие между знанием разбойника и приговором. Но информация о возможном знании или незнании разбойника включена, если вы еще помните, в саму формулировку приговора. Так что это противоречие, как будто, самого приговора.

Зануда. Из последнего вашего рассуждения, профессор, я понял, что приговор все-таки не может быть приведен в исполнение хотя бы потому, что тюремщик будет бесконечно долго рассуждать, как ему быть. Однако причину этого я усматриваю в том, что разбойник просто не сообщил тюремщику полного своего знания. Ведь благодаря адвокату он знал, что приговор противоречив, а это знание больше, чем то, которое содержится в фразе “Казнь будет сегодня, но я об этом знал еще вчера”.

Профессор.  Действительно, адвокат сообщил разбойнику, используя логические рассуждения, нечто большее, а именно, что приговор не может быть исполнен. Но для исполнения приговора требовалось лишь, чтобы разбойник не знал о дне казни накануне. Что же знал разбойник о дне казни? А только то, что ни в один из семи дней недели казнь не может состояться. Но если он скажет об этом в ответ на вопрос тюремщика  “когда состоится казнь?”, последний должен будет констатировать, что разбойнику не известен день казни ни сегодня, ни накануне, ни в любой другой день. Так что, исполнить приговор можно.

Простак. А все же у разбойника был шанс спастись! Для этого ему нужно было, не мудрствуя лукаво, просто написать в записке произвольный день предполагаемой казни и хранить ее на всякий случай. С вероятностью 1/7, небольшой, но все же не нулевой, он совпал бы с назначенным днем. Представьте, в пятницу утром, например, в тюремную камеру входит палач и объявляет, что сегодня он исполнит приговор, а осужденный достает записку, в которой написано примерно следующее: “Сегодня, в понедельник я уже знаю, что казнь назначена на пятницу”.

Профессор. Пожалуй, так разбойник мог бы миновать расплаты за свои злодеяния. Я хотел бы обратить ваше внимание не на то, можно ли в действительности исполнить приговор, а на трудности, которые могут встретиться при решении логических задач.

Отмечу, что впервые эта задача, как новый парадокс, была опубликована Майклом Скривеном. Затем ее разбирали весьма маститые математики, такие как Д. О’Коннор, Т. О’Бейрн, У. Куайн  и другие.